Rumus Akar Persamaan Kuadrat dan Soal - Pembahasan

Pengertian Persamaan Kuadrat  

        Persamaan kuadrat merupakan sebuah persamaan dari variabel yang memiliki pangkat tertinggi dua.
Persamaan kuadrat dalam x bisa kita tuliskan ke dalam bentuk umum seperti berikut:

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

y = ax² + bx + c

Dengan a, b, c ∈ R serta a ≠ 0
Keterangan:

• x merupakan variabel.
• a merupakan koefisien kuadrat dari x²
• b merupakan koefisien liner dari x.
• c merupakan konstanta.

Macam – macam Akar Persamaan Kuadrat

           Untuk mengetahui berbagai macam dari akar persamaan kuadrat, kita juga bisa mengetahuinya dengan memakai rumus : 

                                            D = b² - 4ac
           Apabila terbentuk nilai D maka kita akan dengan mudah dapat menemukan berbagai akarnya.
Berikut ini adalah beberapa jenis dari persamaan kuadrat secara umum, antara lain:

 1. Akar Real ( D ≥ 0 ) :

  »Akar real berlainan jika diketahui= D > 0
     Contoh:
     a. Tentukan jenis akar dari persamaan di bawah ini

• x² + 4x + 2 = 0

     Penyelesaian:
       Dari persamaan x² + 4x + 2 = 0, maka dapat kita ketahui:

• a = 1
• b = 4
• c = 2

       sehingga :

• D = b² - 4ac
• D =  4² - 4(1)(2)
• D = 16 – 8
• D = 8 ( D > 8, maka akarnya pun adalah akar real namun berbeda )

    »Akar real sama x₁ = x₂ jika diketahui D = 0
       Contoh:
        Buktikan jika persamaan di bawah ini mempunyai akar real kembar:

• 2x² + 4x + 2 = 0

       Penyelesaian:
        Dari persamaan tersebut yaitu: = 2x² + 4x + 2 = 0,maka dapat kita ketahui :

• a = 2
• b = 4
• c = 2

      sehingga:

• D = b² – 4ac
• D = 4² – 4(2)(2)
• D = 16 – 16
• D = 0 ( D = 0, terbukti jika akar real dan kembar )

2. Akar Imajiner/ Tidak Real ( D < 0 )

     Contoh:
     Tentukanlah jenis akar dari persamaan di bawah ini:

• x² + 6x + 10 = 0 !

      Penyelesaian:
      Dari persamaan tersebut yakni: = x² + 6x + 10 = 0, maka diketahui :

• a = 1
• b = 6
• c =10

      sehingga :

• D = 6² – 4ac
• D = 6² – 4(1)(10)
• D = 36 –40
• D = - 4 ( D < 0, sehingga akar-akarnya merupakan akar tidak real )

 3. Akar Rasional ( D = k² )

     Contoh:
     Tentukan jenis akar dari persamaan di bawah ini:

•  x² + 4x + 3 = 0

      Penyelesaian:
      Dari persamaan tersebut yakni: =  x² + 4x + 3 = 0, maka diketahui :

• a = 1
• b = 4
• c = 3

      sehingga :

• D = b² – 4ac
• D = 4² – 4(1)(3)
• D = 16 – 12
• D = 4 = 2²   ( D = k², sehingga akar persamaannya merupakan akar rasional)

Sifat – Sifat Akar Persamaan Kuadrat

        Akar – akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh adanya nilai diskriminan (D = b² – 4ac) di mana hal itu yang membedakan jenis akar – akar persamaan kuadrat menjadi 3, diantaranya yaitu:

1. Apabila D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.

• • Apabila D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya merupakan rasional.
  • Apabila D tidak berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya merupakan irasional.

2. Apabila D = 0, maka persamaan kuadratnya memiliki dua akar yang sama (akar kembar), real, dan juga rasional.
3. Apabila D < 0, maka persamaan kuadratnya tidak memiliki akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner).

Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat

1. Faktorisasi

     Faktorisasi atau pemfaktoran adalah suat metode atau cara dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan mencari nilai yang apabila dikalikan akan menghasilkan nilai lain.
Terdapat tiga bentuk persamaan kuadrat dengan faktorisasi akar-akar yang berbeda, diantaranya yaitu:

No	Persamaan Kuadrat	Faktorisasi Akar-akar
1	x2 + 2xy + y2 = 0	(x + y)2 = 0
2	x2 – 2xy + y2 = 0	(x – y)2 = 0
3	x2 – y2 = 0	(x + y)(x – y) = 0

Contoh :
Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan metode faktorisasi 5x² + 14x + 8 = 0!
Penyelesaian :
   5x² + 14x + 8 = 0
   5x² + 10x + 4x + 8 = 0
   5x(x + 2) + 4(x + 2) = 0
       (5x + 4)(x + 2) = 0
                           x = -4/5,    atau     x = -2
Sehingga, himpunan penyelesaian HP = (-4/5, -2)

2. Kuadrat Sempurna

      Bentuk persamaan kuadrat sempurna merupakan bentuk persamaan di mana akan menghasilkan bilangan rasional.
Penyelesaian dari persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat pada umumnya memakai rumus seperti berikut:

(x+p)² = x² + 2px + p²

Kemudian ubah menjadi bentuk persamaan :
                       (x+p)² = q
                       (x+p)² = q
                           x+p = ± q
                                x = -p ± q
Contoh :
  Tentukan hasil kuadrat sempurna dari persamaan x² + 6x + 5 = 0 !
Penyelesaian :
   x² + 6x +5 = 0
         x² + 6x = -5

• Tambahkan satu angka di ruas kiri dan juga ruas kanan, supaya menjadi kuadrat sempurna.
• Penambahan angka ini diambil dari separuh angka koefisien yang berasal dari nilai x atau separuhnya 6 yang dikuadratkan yaitu 3² = 9.

   x² + 6x + 9 = -5 + 9
   x² + 6x + 9 = 4
          (x+3)² = 4
           (x+3) = √4
                  x = -3 ± 2

• Untuk x+3 = 2

                          x = 2-3
                          x = -1

• Untuk x+3 = -2

                          x = -2-3
                          x = -5
Sehingga nilai hasil akhirnya adalah, x= -1 atau x = -5

3. Rumus Kuadrat atau Rumus ABC

       Nilai akar-akar persamaan kuadrat ax +bx + c = 0 diselesaikan dengan menggunakan rumus abc seperti berikut:

 Untuk lebih memahami uraian di atas, perhatikan contoh soal di bawah ini:
  x² + 4x – 12 = 0
Penyelesaian
  x² + 4x – 12 = 0
  a=1, b=4, c=-12

Menyusun persamaan kuadrat baru

• Menyusun persamaan jika diketahui akar-akarnya

         Apabila sebuah persamaan kuadrat mempunyai akar-akar x₁ serta x₂ maka persamaan kuadratnya bisa dinyatakan ke dalam bentuk:
                                                                 (x- x₁) (x- x₂) = 0
         Contoh:
         Tentukan persamaan kuadrat di mana akar akarnya yaitu -4 dan 5!
         Peyelesaian :
              x₁ = -4 dan x₂ = 5
              (x - (-4)) (x-5) = 0
              (x + 4) (x - 5) = 0
              x²- 5x + 4x - 20 = 0
                        x² - x - 20 = 0

• Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui jumlah serta hasil kali akar-akarnya.

          Apabila telah diketahui sebuah persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar x₁dan x₂ serta diketahui (x₁₊ x₂) dan (x_1.x₂) maka persamaan kuadratnya bisa dibentuk menjedi seperti berikut:

x²-( x₁₊ x₂)x + (x_1.x₂) = 0

         Contoh:
         Tentukan persamaan kuadrat dimana akar-akarnya adalah 3 dan -1/2!
         Penyelesaian :
               x₁ = 3 dan x₂ = -1/2
               x_{1 +} x₂ = 3 -1/2 = 6/2 – 1/2 = 5/2
               x_1.x₂ = 3 (-1/2) = -3/2
         Sehingga, persamaan kuadratnya yaitu:
               x² - ( x₁₊ x₂) x + (x_1.x₂) = 0
                              x² – 5/2 x – 3/2 = 0 (masing-masing ruas dikali 2)
                                         2x²-5x-3 = 0

Contoh Soal dan Pembahasan

   Soal 1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
           Apabila bentuk umum dari persamaan x² – 4 = 3(x – 2) merupakan ax² + bx + c = 0, maka
     nilai a, b, dan c berturut-turut adalah ….
           A. 1, -3, 2
           B. 1, -2, 3
           C. 1, 3, -2
           D. 1, -3, -10
    Penyelesaian :
          Untuk menentukan nilai a, b, dan c maka kita harus merubah bentuk soal menjadi bentuk
     umum terlebih dahulu.
        ⇒ x² – 4 = 3(x – 2)
        ⇒ x² – 4 = 3x – 6
        ⇒ x² – 4 – 3x + 6 = 0
        ⇒ x² – 3x + 2 = 0
        ⇒ a = 1, b = -3, dan c = 2
     Jawaban: A

  Soal 2. Akar Persamaan Kuadrat
          Apabila salah satau akar dari persamaan kuadrat x² – 6x + c = 0 yaitu 4, maka nilai c yang
    memenuhi persamaan itu yakni ….
          A. c = 6
          B. c = -8
          C. c = - 4
          D. c = 8
   Penyelesaian :
       Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = 4 ke persamaannya,
  sehingga:
       ⇒ x² – 6x + c = 0
       ⇒ 4² – 6(4) + c = 0
       ⇒ 16 – 24 + c = 0
       ⇒ - 8 + c = 0
       ⇒ c = 8
    Jawaban:D

  Soal 3. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat
       Apabila salah satu akar dari persamaan kuadrat x² + 2x + c = 0 yaitu 5, maka akar lainnya ialah
   ….
       A. x = 5
       B. x = -5
       C. x = -7
       D. x = -17
  Penyelesaian :
      Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = 5 untuk mengetahui
   nilai c:
      ⇒ x² + 2x + c = 0
      ⇒ 5² + 2(5) + c = 0
      ⇒ 25 + 10 + c = 0
      ⇒ 35 + c = 0
      ⇒ c = -35
     Langkah kedua yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai c sehingga persamaanya
   menjadi:
      ⇒ x² + 2x + c = 0
      ⇒ x² + 2x – 35 = 0
    Kemudian menentukan nilai akarnya dengan pemfaktoran:
      ⇒ (x + 7)(x – 5) = 0
      ⇒ x = -7 atau x = 5
     Jawaban: C

   Soal 4. Himpunan Penyelesaian Persamaan Kuadrat
       Himpunan penyelesaian dari persamaan: x² - 8x + 15 = 0 yaitu …
       A. {3, 5}
       B. {-5, 3}
       C. {-4, 2}
       D. {3, -5}
    Penyelesaian :
     Dengan menggunakan cara pemfaktoran, maka:
               ⇒ x² - 8x + 15 = 0
               ⇒ (x - 3) (x - 5) = 0
               ⇒ x = 3 atau x = 5
               ⇒ HP = {3, 5}
     Jawaban: A

  Soal 5. Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat
      Apabila akar-akar persamaan x² – 3x – 10 = 0 ialah x₁ dan x₂, maka hasil dari x₁ + x₂ sama
  dengan …
      A. x₁ + x₂ = 3
      B. x₁ + x₂ = 4
      C. x₁ + x₂ = 5
      D. x₁ + x₂ = 7
   Penyelesaian :
      Dengan menggunakan cara pemfaktoran, maka:
                 ⇒ x² – 3x – 10 = 0
                 ⇒ (x + 2) (x – 5) = 0
                 ⇒ x₁ = -2 atau  x₂ = 5
      Jumlah akar-akarnya yaitu:
                 ⇒ x₁ + x₂ = -2 + 5
                 ⇒ x₁ + x₂ = 3
     Dengan menggunakan metode cepat, yaitu:
       Dari x² – 3x – 10 = 0
       Dik : a = 1, b = -3, c = -10
      Jumlah akarnya yaitu:
                 ⇒ x₁ + x₂ = -b/a
                 ⇒ x₁ + x₂ = -(-3)/1
                 ⇒ x₁ + x₂ = 3
      Jawaban: A

   Soal 6. Menentukan Akar Lainnya dari Persamaan Kuadrat
       Salah satu akar dari persamaan 3x² – 2x + c = 0 ialah 4, akar lainnya yaitu ….
       A. -8/5
       B. -10/3
       C. -20/3
       D. 7/3
   Penyelesaian :
      Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = 4 ke persamaan:
                ⇒ 3x² – 2x + c = 0
                ⇒ 3(4)² – 2(4) + c = 0
                ⇒ 3.16 – 8 + c = 0
                ⇒ 48 – 8 + c = 0
                ⇒ 40 + c = 0
                ⇒ c = -40
      Langkah kedua yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai c sehingga
   persamaannya menjadi:
                ⇒ 3x² – 2x + c = 0
                ⇒ 3x² – 2x + (-40) = 0
                ⇒ 3x² – 2x – 40 = 0
     Dengan menggunakan metode pemfaktoran:
                ⇒ 3x² – 2x – 40 = 0
                ⇒ (3x + 10) (x – 4 ) = 0
                ⇒ x = -10/3 atau x = 4
     Sehingga, akar lainnya yaitu -10/3.
     Jawaban: B

   Soal 7. Menentukan Nilai koefisien Persamaan Kuadrat
      Apabila akar-akar dari persamaan x² + bx + c = 0 yaitu -1 dan 3, maka nilai b yang memenuhi
    persamaan itu ialah …..
      A. b = 4
      B. b = 2
      C. b = -1
      D. b = -2
   Penyelesaian :
    Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai  x = -1 ke persamaan:
                   ⇒ x² + bx + c = 0
                   ⇒ (-1)² + b(-1) + c = 0
                   ⇒ 1 – b + c = 0
                   ⇒ -b + c = -1
                   ⇒ c = b – 1 …. (1)
    Langkah kedua yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = 3 ke persamaan:
                   ⇒ x² + bx + c = 0
                   ⇒ (3)² + b(3) + c = 0
                   ⇒ 9 + 3b + c = 0
                   ⇒ 3b + c = -9 …. (2)
    Kemudian mensubsitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), sehingga:
                   ⇒ 3b + c = -9
                   ⇒ 3b + (b – 1) = -9
                   ⇒ 4b – 1 = -9
                   ⇒ 4b = -9 + 1
                   ⇒ 4b = -8
                   ⇒ b = -2
      Jawaban: D

   Soal 8. Melengkapi Kuadrat Sempurna 
       Bentuk kuadrat sempurna dari persamaan x² – 8x – 9 = 0 yaitu…
         A. (x + 3)² = 16
         B. (x – 3)² = 16
         C. (x – 4)² = 25
         D. (x – 5)² = 25
    Penyelesaian :
       Langkah pertama adalah membentuk kuadrat sempurna dengan cara mengubah bentuk
     ax² + bx + c = 0 menjadi  x² + b/ax = - c/a.
                   ⇒ x² – 8x – 9 = 0
                   ⇒ x² – 8/1x = 9/1
                   ⇒ x² – 8x = 9
        Kedua adalah semua ruas sama-sama ditambah dengan bilangan yang sama, sehingga:
                   ⇒ x² – 8x + (4)² = 9 + (4)²
                   ⇒ x² – 8x + 16 = 9 + 16
                   ⇒ (x – 4)² = 25
        Jawaban : C

   Soal 9. Menentukan Jenis Akar Persamaan Kuadrat
       Jenis akar-akar dari persamaan x² – 6x + 9 = 0 yaitu …
         A. Real kembar
         B. Real berbeda
         C. Imajiner
         D. Real berlawanan tanda
   Penyelesaian :
      Berdasarkan dari nilai akarnya, kita memakai cara pemfaktoran, yaitu:
                  ⇒ x² – 6x + 9 = 0
                  ⇒ (x – 3)(x – 3) = 0
                  ⇒ x = 3 atau x =3
      Yang artinya, akarnya real kembar.
      Metode kedua dengan tinjau nilai diskriminannya, maka:
                  ⇒ D = b² – 4ac
                  ⇒ D = (-6)² – 4(1)(9)
                  ⇒ D = 36 – 36
                  ⇒ D = 0
      Untuk D = 0, akarnya ialah real kembar.
      Jawaban: A

   Soal 10. Menyusun Persamaan Kuadrat
       Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -3 dan 4 yaitu ….
                A. x² – 2x – 12 = 0
                B. x² – x + 12 = 0
                C. x² – x – 12 = 0
                D. x² + x – 12 = 0
    Penyelesaian :
               ⇒ (x – x₁)(x – x₂) = 0
               ⇒ (x – (-3))(x – 4) = 0
               ⇒ (x + 3)(x – 4) = 0
               ⇒ x² – 4x + 3x – 12= 0
               ⇒ x² – x – 12 = 0
     Jawaban: C